Okrąg – zbiór wszystkich punktów płaszczyzny euklidesowej odległych od ustalonego punktu o zadaną odległość.

 

Słowo „okrąg” jest często mylone ze słowem „okręg” oznaczającym obszar administracyjny.

Definicja

 

Niech S = (x0,y0) będzie ustalonym punktem, zaś r odcinkiem o dodatniej długości. Okręgiem nazywamy zbiór punktów płaszczyzny euklidesowej spełniającej równość

{(x,y):(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2}.

Jest to wzór geometrii analitycznej obowiązujący w kartezjańskim układzie współrzędnych. W tym samym układzie współrzędnych okrąg może być opisany również za pomocą równania parametrycznego, gdzie parametr .

 

Pojęcia

 

Punkt S nazywamy środkiem okręgu, zaś każdy odcinków o początku S i końcu w jednym z punktów okręgu nazywamy promieniem, również długość | r | nazywana jest tym terminem.

Sieczna to prosta mająca z okręgiem dokładnie dwa punkty wspólne, prostą mająca dokładnie jeden punkt wspólny nazywamy styczną do okręgu.

Cięciwą nazywamy odcinek wyznaczony przez punkty wspólne dowolnej siecznej i okręgu, czyli łączący dwa dowolne punkty okręgu. Średnica okręgu to cięciwa przechodząca przez środek okręgu, podobnie jak w przypadku promienia tym pojęciem określa długość tej cięciwy. Średnica zwyczajowo oznaczana jest przez d, zachodzi równość d = 2r.

 

Wzory

 

Najbardziej znaną stałą związaną z okręgiem (kołem) jest π wynoszące w przybliżeniu . Jest ona jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, więcej o niej w artykule o liczbie pi.

Długość okręgu wyraża się wzorem:

O = 2πr

Pole powierzchni koła ograniczonego okręgiem (okrąg nie ma wnętrza, a więc i powierzchni) wyraża się wzorem:

S = πr2

 

 

 

 

 

Koło – zbiór punktów płaszczyzny oddalonych nie bardziej niż o zadaną odległość (promień koła) od zadanego punktu na płaszczyźnie (środek koła).

 

Inna definicja: okrąg wraz z ograniczonym obszarem płaszczyzny wyciętym przez niego (okrąg jest brzegiem koła).

 

Koło jest opisywane wzorem:

gdzie (x0,y0) to współrzędne środka koła, a wartość r jest nazywana jego promieniem.

 

Związane pojęcia

Koło otwarte to koło bez brzegu czyli ograniczającego go okręgu. Pojęcie to często pojawia się w analizie matematycznej w teorii funkcji zmiennej zespolonej. "Zwykłe" koło w sensie podanej na początku definicji nazywa się wtedy kołem domkniętym.

Cięciwa koła to odcinek o końcach na brzegu koła.

Promień koła to odcinek z jednym końcem na brzegu koła, a drugim w środku koła.

Średnica koła to:

cięciwa przechodząca przez środek koła

długość tej cięciwy, czyli podwojona wartość promienia koła.

Koło wielkie kuli to koło o promieniu tej kuli, o środku w jej środku.

jest jedną z najsłynniejszych stałych matematycznych, szerzej opisaną w artykule: Pi.

 

 

Okręgiem  o środku O i promieniu r>0 nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O jest równa r.

Kołem o środku O i promieniu r>0 nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu O nie jest większa od r.

 

Średnica okręgu przechodząca przez jego środek jest równa 2r, gdzie r - promień koła.

Średnica koła jest większa od każdej cięciwy niebędącej średnicą.

Średnica prostopadła do cięciwy dzieli tę cięciwę na połowy.

Cięciwa okręgu, to prosta łącząca dwa punkty (D i E) leżące na powierzchni okręgu, niemająca żadnych innych wspólnych punktów z  powierzchnią.

 

 Jeżeli dany jest okręg   i prosta m to:

• m jest styczną do okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m równa jest r

 

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia okręgu poprowadzonego do punktu styczności.

 

• m jest sieczną okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m jest mniejsza od r.

 

• m jest zewnętrzną dla okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy odległość O od m jest większa od r.

 

Jeżeli dane są dwa różne okręgi  to:

• okręgi są wzajemnie zewnętrzne wtedy i tylko wtedy, gdy

 

 

 

• okręgi są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy

 

• okręgi są przecinające się wtedy i tylko wtedy, gdy

Objaśnienie:

 

• okręgi są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy

Objaśnienie:

 

• 

 

Kąt środkowy

Kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu nazywamy kątem środkowym

 

Kąt wpisany.

Kątem wpisanym w okręg nazywamy kąt wypukły, którego wierzchołkiem jest dowolny punkt P okręgu a ramionami półproste zawierające cięciwy okręgu przecinające się w punkcie P.

 

 

W okręgu równym kątom środkowym odpowiadają równe cięciwy.

 

Kąty wpisane w okręg i oparte na tym samym łuku są równe i każdy z nich jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku, co kąty wpisane.

 

 

Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzącą przez koniec tej cięciwy jest równy połowie kąta środkowego odpowiadającego tej cięciwie.

 

Kąt wpisany oparty o średnicę jest prosty.